Transformaciones Lineales

 

 

TAREA : TRANSFORMACIONES LINEALES.

 

 

Profesor:

Miguel Alberto Becerra

 

 

Nombres integrantes:

 

Eliana Marcela Henao Martinez

Santiago Vèlez Pulgarin

 

 

 

 

 

Medellín

 

 

 

 

 

 

 2020

 

1. Qué es una transformación lineal

 

En primer lugar, una transformación lineal es una función. Por ser función, tiene su dominio y su codominio, con la particularidad de que éstos son espacios vectoriales. Tenemos dos espacios vectoriales V y W ,y una función que va de  V a W ,O sea una regla de asignación que transforma vectores de V en vectores de W. Pero no toda función que transforme vectores de V en vectores de W es una transformación lineal por lo que deben cumplir ciertas condiciones.

 

 2. Cuáles son las condiciones para que exista un transformación lineal

T : V → W es una transformación lineal de V en W si 1. T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) para todo v1, v2 ∈ V . (Propiedad aditiva)

 

 2. T(λv1) = λT(v1) para todo v1 ∈ V y todo λ ∈ R. (Propiedad homogénea)

 

3. Al menos cinco propiedades o teoremas de las transformaciones lineales

Propiedad 1

 La imagen del vector nulo del dominio 0v es el vector nulo del codominio 0w: T(0v) = 0w

 Demostración: T(0v) = T(0.v) = 0.T(v) = 0.w =0w Donde hemos expresado a 0v como el producto del escalar 0 por cualquier vector del espacio vectorial V, hemos usado la segunda condición que debe cumplir una transformación lineal, y finalmente hemos vuelto a usar la propiedad de espacios vectoriales sobre el producto del escalar 0 por cualquier vector.

Propiedad 2

 La imagen del vector –v es igual al opuesto de la imagen de v: T(–v) = –T(v)

 Demostración: T(–v) = T(–1.v)=–1.T(v) =–T(v) La justificación de los pasos dados en la demostración es similar a la anterior.

Propiedad 3

 Consideremos r vectores del espacio vectorial V: v1, v2,…, vr ∈ V Tomemos una combinación lineal en el dominio: α1v1 + α2v2 + α3v3 +...+αrvr Donde αi ∈ R.

 Si aplicamos la transformación lineal F de V a W, teniendo en cuenta las propiedades enunciadas en la definición, resulta: F(α1v1 + α2v2 + α3v3 + ... + αrvr) = α1F(v1) + α2F(v2) + Es decir que una transformación lineal transporta combinaciones lineales de V a W, conservando los escalares de la combinación lineal.

Propiedad 4

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v₁, v₂, ….v_n}. Sea W un espacio vectorial que contiene los vectores w₁, w₂, …. w_n. Entonces existe una transformación lineal única T: V→W tal que Tv_i = wi para i 1, 2, …, n.

 

propiedad 5

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v₁, v₂, ….v_n}. Sean w₁, w₂, …. w_n vectores en W. Suponga que T₁ y T₂ son dos transformaciones lineales de V en W tales que T₁v_i = T₂v_i =w_i para i = 1, 2,., n. Entonces para cualquier vector v ϵ V, T₁v = T₂v; es decir, T₁ = T₂

4. Un ejemplo de una transformación lineal.

Ejemplo

5. Cómo probar esa transformación lineal.