Espacios Vectoriales

 ESPACIOS VECTORIALES

• Qué son los espacios vectoriales.

En álgebra abstracta, un espacio vectorial (o también llamado espacio lineal) es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo), con 8 propiedades fundamentales.

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

• Enumere los 8 axiomas para comprobar si un conjunto es un espacio vectorial.

• 1-     Si X pertenece a V y Y pertenece a V, entonces X+Y pertenece a V.

   

  2-      Para todo X, Y y Z en V, (x+y)+z = x(y+z).
  
  

  3-     Existe un vector |0 pertenece V tal que para todo X pertenece a V, X+0=0+X=X.
  
  

  4-     Si x pertenece a V, existe un vector –x en V tal que x+(-x)=0.
  
  

  5-     Si X y Y están en V, entonces x+y=y+x.
  
  

  6-     Si x pertenece a V y a es un escalar, entonces ax pertenece a V.
  
  

  7-     Si X y Y están en V y a es un ecalar, entonces a(x+y)= ax + ay
  
  

  8-     Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces (a+b) x = ax+ by.
  

• Qué es un subespacio vectorial.

un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V.

• Enumere las tres propiedades que permiten probar si un subconjunto de un espacio vectorial e u subespacio.
•   La mejor manera de comprobar si W es un subespacio es buscar primero si contiene al vector nulo. Si 0V0V está en W, entonces deben verificarse las propiedades (b) y (c). Si 0V0V no está en W, W no puede ser un subespacio y no hace falta verificar las otras propiedades.
•         
    Las propiedades a, b y c corresponden a los axiomas 4, 1 y 6 de espacios vectoriales.
  
  
    Los axiomas 2, 3, 7, 8, 9 y 10 de espacio vectorial se cumplen para W porque éste es un subconjunto de V. Puede decirse que W “hereda” esas propiedades de V.
  
  
  
  

    Faltaría comprobar que cada vector de W tiene su opuesto en W (axioma 5 de espacios vectoriales):

  
  

  Teniendo en cuenta la condición (c) de subespacios,

  c. Si u está en W y k es un escalar, ku está en W.Si tomamos k=–1k=–1, resulta:

  Para cada u∈W,(–1)u=–u∈W  ,Y por lo tanto cada vector de W tiene su opuesto en W.

  De las observaciones anteriores se deduce que las condiciones (a), (b) y (c) son suficientes para demostrar que W es un espacio vectorial, y por lo tanto subespacio de V.

• Explique cuales son la dimensión y el rango de un subespacio y que es una base.
• Dimensión: 
  Si las bases de un espacio vectorial V tienen n elementos, diremos que la dimensión de V es n, lo que expresaremos como dim(V ) = n.

  En caso que V = {0}, por conveniencia, diremos que el espacio vectorial tiene dimensión 0, y en caso que un espacio vectorial no tenga una base finita, diremos que es de dimensión infinita.

  Rango:

  El rango de una matriz es el número máximo de columnas (filas respectivamente) que son linealmente independientes. El rango fila y el rango columna siempre son iguales: este número es llamado simplemente rango de A. Comúnmente se expresa como rg(A).

  El número de columnas independientes de una matriz A de m filas y n columnas es igual a la dimensión del espacio columna de A. También la dimensión del espacio fila determina el rango. El rango de A será, por tanto, un número no negativo, menor o igual que el mínimo entre m y n:

  "
• Base:

  "Si B es un subconjunto no vacío del espacio vectorial V, diremos que B es una base de V, si y solo si, el conjunto B satisface las siguientes condiciones:

  1. B es un conjunto linealmente independiente.
  2. B es un conjunto generador de V."

  Teorema [Existencia de una Base]

  Todo espacio vectorial, excepto el espacio vectorial trivial V = {0}, tiene al menos una base.

  Teorema [Caracterización de una Base]

  Un subconjunto B = {v1, v2, . . . , vn} de un espacio vectorial V es una base de V, si y solo si, para cada vector v de V existen escalares únicos a1, a2, . . . , an tales que v = a1v1 + a2v2 + . . . + anvn.

  
  

  Teorema. [Característica Común de las Bases]

  Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen igual número de elementos.